En trisslott eller en mjölkgård?

Begreppet väntevärde är ett statistiskt begrepp som anger det mest sannolika utfallet av en slumpmässig process.

Tänk dig att du slår med en tärning. Det är lika sannolikt att du slår någon av siffrorna 1-6. Sannolikheten för att slå en etta är 1/6, sannolikheten att slå en tvåa är 1/6 och så vidare.

Om du spelar brädspel och vill veta hur många steg du kommer att få ta vid nästa tärningskast så ges den bästa gissningen genom att beräkna väntevärdet. Väntevärdet fås genom att multiplicera de olika möjliga utfallens värde (1-6) med dess respektive sannolikhet (1/6) och sedan ta summan av alla möjliga utfall.

Väntevärdet = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 3,5

Vän av ordning kan konstatera att det är omöjligt att slå siffran 3,5 på en tärning, så det är meningslöst att använda denna metod för att bedöma det mest sannolika utfallet av ett tärningskast. Men om du slår med tärningen tio gånger så är det mest sannolikt att du har förflyttat din spelpjäs 35 steg. Om du slår 100 gånger blir det 350 steg som är det mest sannolika utfallet.

Den här metoden är jätteviktig för att kunna beräkna priset av olika erbjudanden där slumpen är inblandad.

Vad är till exempel det rätta priset på en Trisslott?

På baksidan av den trisslott jag har framför mig här på bordet finns en så kallad vinstplan. Där står det att det har getts ut 6 000 000 lotter av den här serien. det finns tre lotter som ger en vinst på 2 765 000 kronor, 3 lotter som ger 1 000 000 och så vidare till 631 695 lotter som ger 30 kronor i vinst.

Sannolikheten att vinna högsta vinsten är 3/6000000 = 0,0000005, eller 0,00005 %.
Sannolikheten att vinna 30 kronor är 631695/6000000= 0,1052… eller (ungefär) 10,5 %

Precis som med tärningen kan vi nu räkna ut väntevärdet av att skrapa en trisslott. Man tar helt enkelt varje vinst och multiplicerar med sannolikheten för den vinsten. Alltså:

2765000*0,0000005+………………………… +30*0,1052 = 15,03
(Jag har inte skrivit ut alla möjliga vinster och dess sannolikheter)

Så, när du skrapar en trisslott kan du alltså förvänta dig att vinna 15,03 kronor. Om du skrapar 10 lotter blir det 150,3 kronor och om du skrapar 100 lotter så blir det drygt 1503 kronor i vinst.

Eller…. snarare blir det förlust, eftersom en trisslott kostar 30 kronor. Vi som köper trisslotter är alltså beredda att köpa dem för (nästan) dubbelt så mycket som de är värda. Helt enkelt värderar vi spänningen och chansen att vinna stora pengar högre än lottens egentliga värde. För Svenska Spel är trisslotter en bra affär. De tjänar ju 14,97 kronor per såld lott. Att sälja saker med nästan 50% marginal är väldigt bra och sådana marginaler förekommer nog sällan i annan typ av försäljning.

Väntevärdet av en trisslott är alltså 15,03 kronor. Genom att jämföra alla olika typer av lotter som finns på marknaden så kan vi, iallafall, på detta sätt räkna ut vilken av de olika typerna av lotterispel som vi ska ägna oss åt om vi vill göra den bästa (eller minst dåliga) affären.

Nu ska vi göra det lite svårare.

En vän erbjuder dig att köpa en trisslott av honom. Villkoret är att han vill ha betalt nu, men du får lotten först om ett år. Vad ska du betala för trisslotten?

Nu kommer vi in på begreppet nuvärde. Nuvärdet av en trisslott som du får skrapa samtidigt som du köper den är lika med väntevärdet av utfallet, det vill säga 15,03 kronor.

Principen bakom nuvärdesberäkningar är egentligen ganska lätt. Du har ju i princip två alternativ om du vill ha en trisslott om ett år. Antingen sätter du – idag – in en viss summa pengar till en viss ränta på banken. Om ett år har du fått ränta på pengarna. Det du har satt in på banken idag plus räntan ska du kunna använda för att köpa en trisslott.
Eller så ger du din kompis en viss summa pengar idag och väntar tills det gått ett år, då du får din trisslott.

Vi gör en rad förenklingar här för att illustrera principen. Dels antar vi att insättningen på banken görs helt utan risk (vilket i de flesta fall är ett relevant antagande) och dels antar vi att inlåningsräntan och utlåningsräntan är den samma (vilket inte är så vanligt).

Poängen är att den summa som du måste sätta in på ditt konto idag för att få ihop så mycket att du kan köpa en trisslott om ett år måste vara exakt lika stor som den summa som du ska betala din kompis idag, för att få en lott av honom om ett år. Det här är grunden till så kallade arbitragefria marknader.

Jag tänkte inte förklara det begreppet mer just nu, men i princip handlar det om att det på en fungerande marknad inte får förekomma att någon kan få en avkastning som överstiger den riskfria räntan, utan att ta risk.
De robotar som numera sköter stor del av handeln på de finansiella marknaderna kan på en bråkdel av en sekund hitta finansiella instrument (optioner och aktier, t.ex.) som för tillfället har fel pris. De kan då placera stora summor på ett sätt som gör att de vet att de tjänar pengar. Men eftersom det finns många robotar som gör samma sak, så är det numera väldigt sällsynt att något finansiellt papper är felprissatt. Men förr i tiden när det var människor som satt och handlade så kunde de som var duktiga på att räkna hitta arbitragemöjligheter och därmed tjäna pengar.

Nåväl, det var ett sidospår.

Vad ska du då betala din kompis?
Jo, du ska betala precis så mycket som du idag måste sätta in på banken för att pengarna plus räntan ska vara 15,03 kronor om ett år. Låt oss anta att räntan är 5 procent. (Det låter löjligt, jag vet, men en gång i tiden räknade man ofta med en riskfri ränta på 5 procent).

Hur mycket behöver du sätta in på banken för att ha 15,03 kronor om ett år om räntan är 5%?

Antag att du ska sätta in x kronor. Om ett år har du då x*1,05 kronor på banken. Vi får då en enkel ekvation för vårt problem:

x*1,05 = 15,03

x= 15,03/1,05 = 14,314…

Du ska alltså inte betala mer är 14,31 kronor för en trisslott som du får om ett år.

Det här kan verka som banala kalkyler och ni frågar er kanske varför jag ödslar min och er tid på det.

Men det jag här har försökt förklara är egentligen grunden till de kalkyler som man (bör) göra varje gång man funderar på att investera i något osäkert projekt. Nästan alla investeringar är nämligen osäkra och de pengar man förhoppningsvis tjänar, kommer inte direkt utan längre fram i tiden.

Därför måste man kunna värdera de olika tänkbara utfallen av investeringen. Det är inte alltid så lätt som med en trisslott. Men kanske kan man göra en rimlig bedömning av vad mjölkpriset ska vara om ett år. Kanske inte exakt, men det finns säkert uppskattningar på sannolikheten att mjölkpriset är högre än tre kronor, eller lägre än tre kronor. På något sätt bör man skaffa sig en känsla för de olika möjliga scenariorna och dess sannolikhet.

Man måste också kunna värdera vad dessa framtida kassaflöden (mjölkavräkningar) är värda idag. För du kommer att ha utgifterna för bygget av den nya mjölkladugården idag. Om nuvärdet av de framtida mjölkleveranserna är lägre än priset du får betala för att bygga ladugården, så kommer det att bli en dålig affär.

Då kanske det är bättre att satsa på en trisslott istället…